[科學基礎] 拉格朗日觀點與尤拉觀點比較

拉格朗日觀點應用

像是一般的拉格朗日觀點應用，以力學領域來說，就會用在動力學上，用簡單的F=ma的應用，去求解得到物體的運動，這邊講的物體就是一個點，像是把車子視為一個點，透過這樣來簡易分析物體的運動。可以想見到這樣的描述方式是非常粗略的分析方法，不過對於只在意物體的運動方式，這樣的分析方式是簡單且有效，所以人們才會把這些方法再應用到一些機構物件的設計分析上。

尤拉觀點應用

用在流體力學上，去描述流體的運動，這是因為流體粒子太多，而且每一顆都不斷在移動，甚至不同流體粒子之間還會有碰撞的效應，用先前拉格朗日分析方法，需要針對一顆一顆的流體粒子去考量他們的運動，這樣太過複雜，且難以分析。而針對大部分應用而言，只是想知道流體整體宏觀的變化，也不需要知道每一顆流體粒子的行為，在這樣的情況下，就直接用尤拉觀點描述，就可以描述出流體當中，每個位置的物體量隨時間變化的特性。

兩者比較

對於拉格朗日觀點，因為物理量即是描述物體本身，不必強調位置，因此，物理量只會隨時間變化，在求解過程中，我們只需要求解常微分方程式。常微分方程式因為涉及變數少，較容易求解。

而對於尤拉觀點而言，因為物理量會跟位置還有時間有關，求解過程就會較複雜，是要求解偏微分方程式。偏微分方程式是不容易去求解的。

古早時候作法

對於以前年代，缺乏電腦做計算，科學家是以手算之方式做計算。可以想見用拉格朗日分析方法會便於他們求解，但問題就出在有很多的物理問題都很難用此觀點進行分析，因為很多問題沒有辦法被視為一個點就進行解決，一定是要同時考慮很多點的變化，而且點與點之間還會交互作用，因此，很對物理問題不可避免的還是要用尤拉觀點來做描述。那求解該如何做呢？

他們採用的方法就是做簡化，舉例來說針對流體力學方程式，他們就會假設流體無黏性，不可壓縮等等的條件，方程式就會變得比較簡單，就可以用手算的方式去得到答案。當然得到的答案未必會貼近真實情形，因為實際上的流體就會有黏性，甚至在一些條件下，也可壓縮，當然答案未必準確，但終究可以讓這些科學家有一套方法，去分析流體運動的行為。有了這套方法，像是有些人就會用在設計飛機，船隻等等的領域上。

現今作法

因為有電腦強大運算能力，所以我們可以用數值方法，可以針對許多點的拉格朗日描述方式去分析，對於尤拉觀點描述，我們也可針對複雜的方程式求解。現今的重點就是看到底某個物理問題，是不是同時能用這兩者觀點去做描述？當然只有某一個觀點可行的話，就只能用那個觀點去做描述。

如果兩個觀點都可描述，這時候就會考慮，用哪一種觀點的描述方式所需求解的資源較少。畢竟如果問題太複雜，可能用個人電腦也難以求解！

心得感想

從過往的分析方法，確實會感覺拉格朗日觀點描述相對簡單，尤拉觀點描述相對複雜，但其實也未必如此。

我們先前提到之所以拉格朗日分析會簡單是因為我們只有考慮一個點去做分析，當今天問題很複雜，需要考量點跟點之間交互作用，甚至要同時分析很多點，就會變得相當複雜，這時候就要採用電腦模擬方式，同時去考量多個點才可以去分析處理。但拉格朗日的觀點的好處是這有時候針對一些複雜情境，就一定要這樣的分析方式才能得到結果。因為針對那些複雜的情景，尤拉觀點也無法正確描述。

這是因為尤拉觀點，雖然他可以很大幅度一次描述很廣的物理量，但其實將方程式寫下來後會發現限制很強，因為這表示在每一個位置的物理量都要依照一條方程式的描述去做改變，想起來就感覺很困難，所以這樣的方式等於是可以給一些科學家快速有一套分析方法，但是針對某些很複雜問題，點跟點會有交互作用，甚至不同地方的特性差異很大，不見得適用。

看似簡單的方法也不見得簡單，看似複雜的方法也不見得複雜。

條件	拉格朗日	尤拉
描述變數形式	T=f(t)，變數只與時間t有關	T=f(x,y,z,t)，變數與時間t還有空間位置x,y,z相關
一般情境求解	針對常微分方程式進行求解	針對偏微分方程式進行求解
特殊情境求解	需要考慮多點變化關係以及點跟點之間交互作用，需透過電腦模擬之方式才能求解	不見得能用一條方程式描述